数学研究的意义
"人类首次窥见黑洞""对暗物质的研究有了新的进展"……我们往往更加关注自然科学的种种发现与进步，而对那个陪伴我们十多年的学科——数学却兴味索然。不仅是因为它很难，更大的原因是它更加抽象，更加脱离实际，与对自然界本身的探索关系不大。事实真的是这样吗？
在通常情况下，数学证明依靠的是逻辑，而不是对自然界的直接观察。"如果 2+2=5，那么罗素是某个主教。"这两个分句听起来风马牛不相及。但是，在逻辑中它是成立的。
它的证明过程并不是查阅资料或者实地考证罗素到底是不是主教，抑或争辩 2+2 是否等于 5。我们要讨论的，只是脱离现实的、纯粹的逻辑。在逻辑语言中，像上述命题可以写成"如果 p，那么 q"的形式。如果 p 为假，那么不论 q 的真假，这个命题都是真的。
也就是说，2+2=5 这个命题本身为假，所以"如果 2+2=5，那么罗素是某个主教。"本身为真。因此，可以说数学证明是从一系列定义、公理、定理出发，通过演绎推理得出结论，而与客观世界关系不大。
依照上一段的说法，有人便认为数学是数学家发明出的游戏，因为它与客观事实无关。就像我们在客观世界中无法证明 1+1 一定等于 2。而科学证明是基于大量观察实验总结规律，如果客观事实发生改变，那么以往的规范也要变化。
如物理是直接研究事物之间相互作用关系，化学是直接研究物质的组成。或许这也是为什么说物理、化学等学科是实证科学，而数学是形式科学（不是你们理解的"形式主义"的意思）。
那么数学就真的是数学家闲着无聊在下的一盘棋吗？若仅是这样，数学就没必要出现在课本里了。
似乎并不完全是。在我们用那些实证科学探索世界的时候，无不需要数学。数学的这一点用处最早可源于古希腊。古希腊数学不同于古代中国和阿拉伯的数学，它并不仅仅为了测量和算数（虽然这些更实用一点吧），而是起源于人的精神困惑，起源于对浩瀚宇宙的描述欲望（这还要归功于他们的哲学）。他们发现，就像用自然科学的定理一样，用数字也可以抽象出万物的规律。
一个很著名的例子是斐波那契数列。这个数列不仅相邻两项之和等于后一项，而且相邻两项相除所得的商约等于 1.618，也就是黄金分割率。葵花籽在花盘上相邻两圈的直径比约为 1.618，鹦鹉螺的相邻螺旋纹直径比以及人体中的特定部位的比都近似 1.618。
然而遗憾的是，我们并不知道为什么只有某些软体生物的纹路、某些人体部位的长度比符合黄金分割率。因此，一项科学定律的诞生仅靠大量经验累积是不够的。
为了详细说明仅靠经验的归纳推理（实证科学中的常用方法）的欠缺性，我再引一个数学中的例子。1742 年，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）假设每个大于 2 的偶数都是两个素数之和。如果你选择任意一个偶数，那么哥德巴赫猜想指出，你都可以找到两个素数相加得到这个偶数。
如果你选择 8，这两个素数是 3 和 5；如果你选择 42，则可以为 13+29。大量证据证明这个假设是正确的。但偶数有无穷个，我们无法逐一验证，因此，或许某个反例正藏在角落里准备给你当头一棒：大于 2 的偶数不一定是两个素数之和。所以，我们需要逻辑论证才能证明这个理论对于所有大于 2 的偶数都成立。遗憾的是，那位数学家的理论至今未得到逻辑证明。
因此，数学证明更加抽象和纯粹，而自然科学研究重要的是基于客观事实。为了说明客观事实的普遍规律，数学证明所用到的逻辑论证在科学证明中不仅是适用的，更是必要的。但是，或许人类只是农场主理论中的火鸡呢？
农场主理论：一个农场里有一群火鸡，农场主每天中午十一点来给它们喂食。火鸡中的一名科学家观察这个现象，一直观察了近一年都没有例外，于是它也发现了自己宇宙中的伟大定律："每天上午十一点，就有食物降临。"它在感恩节早晨向火鸡们公布了这个定律，但这天上午十一点食物没有降临，农场主进来把它们都捉去杀了。
人类所有的研究方法有朝一日都会功亏一篑吗？在对自然的探索路上，人类的研究方法虽然屡屡受挫，甚至受到方法本身的桎梏。可正是有了这些方法，人类才得以用理性窥见自然之美。所以在你仰望星空思考宇宙之前，先学好数学吧。
